Função:
O estudo do
produto cartesiano serviu de base para aprendermos sobre as
relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das
funções, por isto, para que você assimile melhor este conceito, é importante que você revise os tópicos sobre
produto cartesiano e
relações.
As
funções nada mais são que um tipo particular de
relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das
funções vamos começar analisando a relação
, cujo
diagrama de flechas pode ser visto ao lado:
Observe que
todos os elementos do conjunto
A possuem uma flecha em direção a um
único elemento do conjunto
B.
Em outras palavras, não há no conjunto
A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto
B e os elementos de
A estão associados a apenas um elemento de
B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma
função f de A em B representada por:
Domínio da Função
Ao conjunto
A damos o nome de
domínio da função.
O
domínio é o
conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.
Neste nosso exemplo o domínio da função
f é representado por
D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto
A.
Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do
domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de
B.
Contradomínio da Função
Ao conjunto
B damos o nome de
contradomínio da função.
O
contradomínio é o
conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
Em nosso exemplo o contradomínio da função
f é representado por
CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto
B.
Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de
B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto
B o elemento
18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de
A.
Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do
contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento
9 que está associado aos elementos do domínio
-3 e
3.
Imagem da Função
A imagem da função dependendo do caso é o próprio
contradomínio, ou então é um subconjunto seu.
Os elementos do
conjunto imagem são todos os elementos do
contradomínio que estão associados a algum elemento do
domínio. No exemplo que estamos utilizando o
conjunto imagem é representado por
Im(f) = { 0, 9 }, pois
0 e
9 são todos os elementos do
CD(f) que estão associados a algum elemento do
D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função:
D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função:
CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função:
Im(f) = { 0, 9 }
Nesta função exemplo o conjunto imagem é um
subconjunto do contradomínio, pois o elemento
18 de
B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.
Definição de uma Função
Esta função
f de A em B,
, é definida como:
Ou ainda como:
Veja também que representamos
f(x) ou
y em função de
x. A variável
f(x) ou
y é chamada de
variável dependente, pois depende de
x, já a variável
x é chamada de
variável independente, pois independentemente de
y, pode representar qualquer elemento do
domínio.
A definição da função leva em conta tanto o
domínio quanto do
contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem
Im(f), depende não só da
regra de associação, no caso
f(x) = x2, como também do
D(f) e do
CD(f).
Omissão do Domínio e do Contradomínio na Definição de uma Função
É provável que em muitos livros e em outros sites você tenha
encontrado a definição de muitas funções, nas quais não foram feitas
menções nem ao
contradomínio, nem ao
contradomínio das mesmas.
É que nestes casos se assume que o
contradomínio seja o
conjunto dos números reais,
.
Mas qual será o domínio?
Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função:
O
contradomínio é:
O
domínio é o próprio
conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os quais
não seja um número real.
Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se
x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento
0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a
x, elemento este que deve pertencer a
Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem.
Então devemos desconsiderar o número
0 e mais nenhum outro, pois a divisão de
1 por qualquer outro número real produz um quociente real.
O domínio desta função pode então ser definido por:
Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero:
Logo a definição desta função poderia ser:
No caso da função
é muito fácil de se identificar que
x não pode ser igual a
0, mas e no caso da função abaixo?
Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o
denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o
radicando no denominador não pode ser
negativo, pois
não existe raiz quadrada real de número negativo, então concluímos que
5x - 5 deve ser
maior que zero. Então temos:
Isolando
x no primeiro membro:
Portanto
x deve ser
maior que 1, pois se
x for igual
1 teremos uma divisão por zero e se
x for menor que
1 teremos um radical negativo. Podemos então definir o domínio desta função por:
Desta forma podemos então definir assim esta função:
Não há como negar que
é uma forma bem mais simples de se definir esta função, é por isto que os livros costumam fazer assim.
Exemplos de Relação que não é Função
Observe o diagrama de flechas ao lado:
Ele não representa uma função de
A em
B, pois o elemento
2 do conjunto
A possui duas imagens,
-8 e
8, o que contraria o conceito de
função.
Se apenas
8 ou
-8 recebessem um flechada de
2, aí sim teríamos uma função.
Agora vejamos este outro diagrama de flechas a seguir:
Veja que não há nenhum elemento do domínio que fleche mais de um elemento do
contradomínio, mas ainda assim não estamos diante de uma
função. Por quê?
Simplesmente porque o elemento
5 do conjunto
A não possui uma imagem em
B.
Observe agora o seguinte gráfico no plano cartesiano:
Ele representa ou não uma função?
Como sabemos, em uma função cada elemento
x do
domínio deve estar relacionado a um único elemento
y do
contradomínio, ou seja, deve possuir uma única
imagem.
Note porém que neste gráfico os pontos
(5, 1) e
(5, 4), possuem a mesma
abscissa, o que significa dizer que o elemento
5 do
domínio possui duas
imagens, ele flecha tanto o elemento
1, quanto o elemento
4 do
contradomínio, portanto tal gráfico não representa uma função.
Em resumo, levando-se em conta o
domínio e o
contradomínio da relação, se no gráfico for possível traçar uma reta paralela ao
eixo das ordenadas
que passe por mais de um ponto do gráfico, ou ainda que não passe por
nenhum dos seus pontos, então estaremos diante de um gráfico que não
representa uma função.
NOME: Jessica Duarte Bravo
Fonte:Matemática Infor
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