Integrante: Adriane Cândido Monte
quinta-feira, 29 de maio de 2014
O Plano Cartesiano
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, veja:
1º quadrante = x > 0 e y > 0
2º quadrante = x < 0 e y > 0
3º quadrante = x < 0 e y < 0
4º quadrante = x > 0 e y < 0
Localizando pontos no Plano Cartesiano:
A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3
B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2
C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4
D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4
E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3
2º quadrante = x < 0 e y > 0
3º quadrante = x < 0 e y < 0
4º quadrante = x > 0 e y < 0
Localizando pontos no Plano Cartesiano:
A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3
B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2
C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4
D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4
E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3
O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de
gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o
domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de
Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na
Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em
alguns pontos considerados críticos.
Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.
Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.
Integrante: Adriane Cândido Monte
segunda-feira, 26 de maio de 2014
Funçoes
Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma função. Observe o exemplo:
O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções.
As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função.
Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. Observe a tabela abaixo:
Verifique que para cada valor de x temos uma representação em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do 1º grau.
Integrante: Millena Hávilla Marinheiro Vidal
Fonte:Brasil EScola Matemática
FUNÇÃO
Função:
O estudo do produto cartesiano serviu de base para aprendermos sobre as relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das funções, por isto, para que você assimile melhor este conceito, é importante que você revise os tópicos sobre produto cartesiano e relações.
As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação 
, cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado:
Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:
O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.
Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A.
Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.
O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B.
Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.
Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.
Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.
, é definida como:
Ou ainda como:
Veja também que representamos f(x) ou y em função de x. A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio.
A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto do contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x2, como também do D(f) e do CD(f).
É que nestes casos se assume que o contradomínio seja o conjunto dos números reais,
.
Mas qual será o domínio?
Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função:
O contradomínio é:
O domínio é o próprio conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os quais
não seja um número real.
Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento 0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a x, elemento este que deve pertencer a Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem.
Então devemos desconsiderar o número 0 e mais nenhum outro, pois a divisão de 1 por qualquer outro número real produz um quociente real.
O domínio desta função pode então ser definido por:
Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero:
Logo a definição desta função poderia ser:
No caso da função é muito fácil de se identificar que x não pode ser igual a 0, mas e no caso da função abaixo?
Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o radicando no denominador não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo, então concluímos que 5x - 5 deve ser maior que zero. Então temos:
Isolando x no primeiro membro:
Portanto x deve ser maior que 1, pois se x for igual 1 teremos uma divisão por zero e se x for menor que 1 teremos um radical negativo. Podemos então definir o domínio desta função por:
Desta forma podemos então definir assim esta função:
Não há como negar que é uma forma bem mais simples de se definir esta função, é por isto que os livros costumam fazer assim.
Observe o diagrama de flechas ao lado:
Ele não representa uma função de A em B, pois o elemento 2 do conjunto A possui duas imagens, -8 e 8, o que contraria o conceito de função.
Se apenas 8 ou -8 recebessem um flechada de 2, aí sim teríamos uma função.
Agora vejamos este outro diagrama de flechas a seguir:
Veja que não há nenhum elemento do domínio que fleche mais de um elemento do contradomínio, mas ainda assim não estamos diante de uma função. Por quê?
Simplesmente porque o elemento 5 do conjunto A não possui uma imagem em B.
Observe agora o seguinte gráfico no plano cartesiano:
Ele representa ou não uma função?
Como sabemos, em uma função cada elemento x do domínio deve estar relacionado a um único elemento y do contradomínio, ou seja, deve possuir uma única imagem.
Note porém que neste gráfico os pontos (5, 1) e (5, 4), possuem a mesma abscissa, o que significa dizer que o elemento 5 do domínio possui duas imagens, ele flecha tanto o elemento 1, quanto o elemento 4 do contradomínio, portanto tal gráfico não representa uma função.
Em resumo, levando-se em conta o domínio e o contradomínio da relação, se no gráfico for possível traçar uma reta paralela ao eixo das ordenadas que passe por mais de um ponto do gráfico, ou ainda que não passe por nenhum dos seus pontos, então estaremos diante de um gráfico que não representa uma função.
NOME: Jessica Duarte Bravo
Fonte:Matemática Infor
O estudo do produto cartesiano serviu de base para aprendermos sobre as relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das funções, por isto, para que você assimile melhor este conceito, é importante que você revise os tópicos sobre produto cartesiano e relações.
As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação , cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado:Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:
Domínio da Função
Ao conjunto A damos o nome de domínio da função.O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.
Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A.
Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.
Contradomínio da Função
Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função.O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B.
Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.
Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.
Imagem da Função
A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu.Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.
Definição de uma Função
Esta função f de A em B,, é definida como:Ou ainda como:
Veja também que representamos f(x) ou y em função de x. A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio.
A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto do contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x2, como também do D(f) e do CD(f).
Omissão do Domínio e do Contradomínio na Definição de uma Função
É provável que em muitos livros e em outros sites você tenha encontrado a definição de muitas funções, nas quais não foram feitas menções nem ao contradomínio, nem ao contradomínio das mesmas.É que nestes casos se assume que o contradomínio seja o conjunto dos números reais,
.Mas qual será o domínio?
Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função:
O contradomínio é:
O domínio é o próprio conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os quais
não seja um número real.Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento 0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a x, elemento este que deve pertencer a Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem.
Então devemos desconsiderar o número 0 e mais nenhum outro, pois a divisão de 1 por qualquer outro número real produz um quociente real.
O domínio desta função pode então ser definido por:
Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero:
Logo a definição desta função poderia ser:
No caso da função
é muito fácil de se identificar que x não pode ser igual a 0, mas e no caso da função abaixo?Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o radicando no denominador não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo, então concluímos que 5x - 5 deve ser maior que zero. Então temos:
Isolando x no primeiro membro:
Portanto x deve ser maior que 1, pois se x for igual 1 teremos uma divisão por zero e se x for menor que 1 teremos um radical negativo. Podemos então definir o domínio desta função por:
Desta forma podemos então definir assim esta função:
Não há como negar que
é uma forma bem mais simples de se definir esta função, é por isto que os livros costumam fazer assim.Exemplos de Relação que não é Função
Observe o diagrama de flechas ao lado:Ele não representa uma função de A em B, pois o elemento 2 do conjunto A possui duas imagens, -8 e 8, o que contraria o conceito de função.
Se apenas 8 ou -8 recebessem um flechada de 2, aí sim teríamos uma função.
Agora vejamos este outro diagrama de flechas a seguir:
Veja que não há nenhum elemento do domínio que fleche mais de um elemento do contradomínio, mas ainda assim não estamos diante de uma função. Por quê?
Simplesmente porque o elemento 5 do conjunto A não possui uma imagem em B.
Observe agora o seguinte gráfico no plano cartesiano:Ele representa ou não uma função?
Como sabemos, em uma função cada elemento x do domínio deve estar relacionado a um único elemento y do contradomínio, ou seja, deve possuir uma única imagem.
Note porém que neste gráfico os pontos (5, 1) e (5, 4), possuem a mesma abscissa, o que significa dizer que o elemento 5 do domínio possui duas imagens, ele flecha tanto o elemento 1, quanto o elemento 4 do contradomínio, portanto tal gráfico não representa uma função.
Em resumo, levando-se em conta o domínio e o contradomínio da relação, se no gráfico for possível traçar uma reta paralela ao eixo das ordenadas que passe por mais de um ponto do gráfico, ou ainda que não passe por nenhum dos seus pontos, então estaremos diante de um gráfico que não representa uma função.
NOME: Jessica Duarte Bravo
Fonte:Matemática Infor
domingo, 18 de maio de 2014
Teorema De Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
Fonte: Brasil Escola
Nome:Jessica Duarte Bravo
segunda-feira, 12 de maio de 2014
Criado por René Descartes, o plano cartesiano
consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de
eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano
cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos
num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro
quadrantes, mostrados na figura a seguir:
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.
Marcando pontos no plano cartesiano
Dados os pontos A(3,6), B(2,3), C(-1,2), D(-5,-3), E(2,-4), F(3,0), G(0,5), represente-os no plano cartesiano.
Marcando o ponto A(3,6)
Primeiro: localiza-se o ponto 3 no eixo das abscissas
Segundo: localiza-se o ponto 6 no eixo das ordenadas
Terceiro: Traçar a reta perpendicular aos eixos, o encontro delas será o local do ponto.
O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
Integrante: Loruhama Batista Josino de Moura
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.
Marcando pontos no plano cartesiano
Dados os pontos A(3,6), B(2,3), C(-1,2), D(-5,-3), E(2,-4), F(3,0), G(0,5), represente-os no plano cartesiano.
Marcando o ponto A(3,6)
Primeiro: localiza-se o ponto 3 no eixo das abscissas
Segundo: localiza-se o ponto 6 no eixo das ordenadas
Terceiro: Traçar a reta perpendicular aos eixos, o encontro delas será o local do ponto.
O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
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